다음은 n\ge2 인 모든 자연수 n 에 대하여 [4점] \left(1+\frac1{1^3}\right)\left(1+\frac1{2^3}\right)\left(1+\frac1{3^3}\right)\cdots\left(1+\frac1{n^3}\right) 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다. (i) n=2 일 때 (\text{좌변})=\left(1+\frac1{1^3}\right)\left(1+\frac1{2^3}\right)=\frac94 , (\text{우변})=3-\frac12=\frac52 이므로 ㉠이 성립한다.…

파란띠 4기출문제

2008학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 14번

다음은 $n\ge2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 [4점]

\left(1+\frac1{1^3}\right)\left(1+\frac1{2^3}\right)\left(1+\frac1{3^3}\right)\cdots\left(1+\frac1{n^3}\right)<3-\frac1n\cdots\char"3260

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명하는 과정이다.

<증명>

(i) $n=2$ 일 때

$(\text{좌변})=\left(1+\frac1{1^3}\right)\left(1+\frac1{2^3}\right)=\frac94$ , $(\text{우변})=3-\frac12=\frac52$ 이므로 ㉠이 성립한다.

(ii) $n=k$ ( $k\ge2$ )일 때 ㉠이 성립한다고 가정하면

\left(1+\frac1{1^3}\right)\left(1+\frac1{2^3}\right)\left(1+\frac1{3^3}\right)\cdots\left(1+\frac1{k^3}\right)<3-\frac1k\cdots\char"3261

㉡의 양변에 $\boxed{\text{(가)}}$ 를 곱하면

\left(1+\frac1{1^3}\right)\left(1+\frac1{2^3}\right)\left(1+\frac1{3^3}\right)\cdots\left(1+\frac1{k^3}\right)\left(\boxed{\text{(가)}}\right)

<\left(3-\frac1k\right)\left(\boxed{\text{(가)}}\right)\cdots\char"3262

㉢의 우변을 정리하면

(\text{우변})=3-\frac{\boxed{\text{(나)}}}{k(k+1)^3}

이 때, $\frac{\boxed{\text{(나)}}}{k(k+1)^3}-\frac1{k+1}\ \boxed{\text{(다)}}\ 0$

따라서 $n=k+1$ 일 때도 ㉠이 성립한다.

그러므로 (i), (ii)에 의하여 $n\ge2$ 인 모든 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 부등식은 성립한다.

위의 증명 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은?

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