파란띠 5수능형

공간에서의 삼각함수의 활용

happyc2026.08.21

준선이 $y$ 축이고 초점 $\mathrm{F}$ 가 $x$ 축 위에 있는 $xy$ 평면 위 포물선 위의 한 점 $\mathrm{P}$ 를 지나고 $yz$ 평면과 평행한 평면 $\alpha$ 에 대해 점 $\mathrm{M}\left(0,\,0,\,1\right)$ 에서 $\alpha$ 에 내린 수선의 발 $\mathrm{H}$ 가 다음 조건을 만족한다.

\overline{\mathrm{HF}}=\overline{\mathrm{PF}},\,\cos\left(\angle\mathrm{HFP}\right)={\dfrac{9}{25}}

$\mathrm{M}$ 을 중심으로 하고 $\mathrm{H}$ 를 지나는 구 $B$ 에 대해 집합 $S$ 를 다음과 같이 정의하자.

S=\left\{\mathrm{Q}\mid\mathrm{Q}\text{는 }B\text{ 위의 점},\,\,\overline{\mathrm{HF}}=\overline{\mathrm{QF}}\right\}

$\mathrm{P}_{{\scriptstyle 0}},\,\mathrm{P}_{{\scriptstyle 1}}\in S$ 일 때 $\overline{\mathrm{P}_{{\scriptstyle 0}}\mathrm{P}_{{\scriptstyle 1}}}^{{\scriptstyle 4}}$ 의 최댓값은 $\vphantom{\begin{matrix}1\\1\end{matrix}}\dfrac{q}{p}$ 이다. $p+q$ 의 값을 구하시오.