2015학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 B형 16번

중심이 $\mathrm{O}$, 반지름의 길이가 $1$이고 중심각의 크기가 $\dfrac{2}{3}\pi$인 부채꼴 $\mathrm{OAB}$가 있다. 그림과 같이 호 $\mathrm{AB}$를 이등분하는 점을 $\mathrm{M}$이라 하고 호 $\mathrm{AM}$과 호 $\mathrm{MB}$를 각각 이등분하는 점을 두 꼭짓점으로 하는 직사각형을 부채꼴 $\mathrm{OAB}$에 내접하도록 그리고, 부채꼴의 내부와 직사각형의 외부의 공통부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가 $\dfrac{2}{3}\pi$인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
그림 $R_2$에 새로 그려진 직사각형의 네 변의 중점을 모두 지나도록 중심각의 크기가 $\dfrac{2}{3}\pi$인 부채꼴을 그리고, 이 부채꼴에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 직사각형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]