2006학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 11번

그림과 같이 길이가 4인 선분 $\mathrm{A_1B}$를 지름으로 하는 반원 $\mathrm D_1$이 있다.

호 $\mathrm{A_1B}$를 이등분하는 점을 $\mathrm C_1$, 점 $\mathrm B$를 지나면서 선분 $\mathrm{A_1C_1}$과 접하고 중심이 선분 $\mathrm{A_1B}$ 위에 있는 반원을 $\mathrm D_2$, 반원 $\mathrm D_2$가 선분 $\mathrm{A_1B}$와 만나는 점을 $\mathrm A_2$라 하자.

호 $\mathrm{A_2B}$를 이등분하는 점을 $\mathrm C_2$, 점 $\mathrm B$를 지나면서 선분 $\mathrm{A_2C_2}$와 접하고 중심이 선분 $\mathrm{A_1B}$ 위에 있는 반원을 $\mathrm D_3$, 반원 $\mathrm D_3$이 선분 $\mathrm{A_1B}$와 만나는 점을 $\mathrm A_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 얻은 반원 $\mathrm D_n$의 호의 길이를 $l_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^\infty l_n$의 값은? [4점]