2016학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 20번

방정식 $x^2-x-1=0$의 두 근을 $p$, $q$라 하면

$p+q=1$, $pq=-1$

이다.

따라서 $p^2+q^2=\boxed{\text{(가)}}$, $p^4+q^4=\boxed{\text{(나)}}$이다.

$x$에 대한 다항식 $ax^9+bx^8+1$이 $x^2-x-1$로 나누어떨어지면

$ap^9+bp^8=-1\quad\cdots\char"2460$

$aq^9+bq^8=-1\quad\cdots\char"2461$

이다.

①, ②의 양변에 각각 $q^8$, $p^8$을 곱하여 정리하면

$ap+b=-q^8\quad\cdots\char"2462$

$aq+b=-p^8\quad\cdots\char"2463$

이다.

③에서 ④를 뺀 식으로부터 $a(p-q)=p^8-q^8$이고, $p\ne q$이므로 $a=\dfrac{p^8-q^8}{p-q}$이다.

따라서 $a=\boxed{\text{(다)}}$이다.

$\vdots$