2016학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 16번

(ⅰ) $n=1$일 때,

$a_1=\dfrac{a_1^2+1}{2a_1}$에서 $a_1>0$이므로 $\text{(좌변)}=a_1=1$,

$\text{(우변)}=1-0=1$

이다. 따라서 $n=1$일 때 (*)이 성립한다.

(ⅱ) $n=m$일 때 (*)이 성립한다고 가정하면

$a_m=\sqrt m-\sqrt{m-1}$이므로

이다. 이때

$\dfrac{a_{m+1}^2+1}{2a_{m+1}}=\boxed{\text{(가)}}+a_{m+1}$

즉,

$a_{m+1}^2+2\sqrt m\times a_{m+1}-1=0$

이고, $a_{m+1}>0$이므로

$a_{m+1}=\boxed{\text{(나)}}-\sqrt m$

이다. 따라서 $n=m+1$일 때도 (*)이 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에 의하여 모든 자연수 $n$에 대하여 $a_n=\sqrt n-\sqrt{n-1}$이다.