2009학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 14번

자연수 $n$, $x$, $y$에 대하여 $\frac1n=\frac1x+\frac1y\ (x\le y)$라 하면 $xy=n(x+y)$이다.

따라서 $(x-n)(y-n)=n^2\ \cdots\cdots(*)$

이므로 $x-n$과 $y-n$은 $n^2$의 약수이다.

$d(n)$을 $n$의 양의 약수의 개수라 하고, 방정식 $(*)$의 해의 개수를 구하면

ⅰ) $x=y$인 경우,

$x=y=\boxed{\text{(가)}}$이므로 $1$개이다.

ⅱ) $x<y$인 경우,

$x=y=\boxed{\text{(가)}}$이 제외되므로 $\frac{\boxed{\text{(나)}}}2$ 개이다.

그러므로 $\frac1n=\frac1x+\frac1y\ (x\le y)$로 표시할 수 있는 방법의 수는 $\boxed{\text{(다)}}$ 개이다.

따라서 구하는 수열의 일반항 $a_n=\boxed{\text{(다)}}$이다.