다음은 n이 2 이상의 자연수일 때
k=1∑nk(nCk)2
의 값을 구하는 과정이다.
두 다항식의 곱
(a0+a1x+⋯+an−1xn−1)(b0+b1x+⋯+bnxn)
에서 xn−1의 계수는
a0bn−1+a1bn−2+⋯+an−1b0⋯⋯(∗)
이다.
등식 (1+x)2n−1=(1+x)n−1(1+x)n의 좌변에서 xn−1의 계수는 (가)이고, (*)을 이용하여 우변에서 xn−1의 계수를 구하면 k=1∑n(n−1Ck−1×(나))이다.
따라서
(가)=k=1∑n(n−1Ck−1×(나))
이다.
한편 1≤k≤n일 때 k×nCk=n×n−1Ck−1이므로
k=1∑nk(nCk)2=k=1∑n(n×n−1Ck−1×(나))=n×k=1∑n(n−1Ck−1×(나))=(다)
이다.
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]
