2015학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 20번

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$인 정육각형 $H_1$이 있다. 정육각형 $H_1$의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, $6$개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 정육각형 $H_1$의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 $H_2$라 하자. 정육각형 $H_2$의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, 새로 그려진 $6$개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에 정육각형 $H_2$의 내부에 있는 각 반원의 호를 이등분하는 점을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 $H_3$이라 하자. 정육각형 $H_3$의 각 변에 대하여 변을 삼등분하는 점을 지름의 양 끝점으로 하는 원을 그리고, 새로 그려진 $6$개의 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=k(3\sqrt3-m)\pi$이다.

$11k+m$의 값은? (단, $k$, $m$은 유리수이다.) [4점]