2018학년도 대학수학능력시험 6월 모의평가 수학 영역 나형 18번

한 변의 길이가 $2\sqrt3$인 정삼각형 $\mathrm{A_1B_1C_1}$이 있다. 그림과 같이 $\angle\mathrm{A_1B_1C_1}$의 이등분선과 $\angle\mathrm{A_1C_1B_1}$의 이등분선이 만나는 점을 $\mathrm{A_2}$라 하자. 두 선분 $\mathrm{B_1A_2}$, $\mathrm{C_1A_2}$를 각각 지름으로 하는 반원의 내부와 정삼각형 $\mathrm{A_1B_1C_1}$의 내부의 공통부분인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에서 점 $\mathrm{A_2}$를 지나고 선분 $\mathrm{A_1B_1}$에 평행한 직선이 선분 $\mathrm{B_1C_1}$과 만나는 점을 $\mathrm{B_2}$, 점 $\mathrm{A_2}$를 지나고 선분 $\mathrm{A_1C_1}$에 평행한 직선이 선분 $\mathrm{B_1C_1}$과 만나는 점을 $\mathrm{C_2}$라 하자. 그림 $R_1$에 정삼각형 $\mathrm{A_2B_2C_2}$를 그리고, 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 정삼각형 $\mathrm{A_2B_2C_2}$의 내부에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]