2016학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 B형 30번

그림과 같이 옆면은 모두 합동인 이등변삼각형이고 밑면은 한 변의 길이가 2인 정사각형인 사각뿔 $\mathrm O-\mathrm{ABCD}$에서 $\angle\mathrm{AOB}=30^{\circ}$이다. 점 $\mathrm A$에서 출발하여 사각뿔의 옆면을 따라 모서리 $\mathrm{OB}$ 위의 한 점과 모서리 $\mathrm{OC}$ 위의 한 점을 거쳐 점 $\mathrm D$에 도착하는 최단경로를 $l$이라 하자. $l$ 위를 움직이는 점 $\mathrm P$에 대하여 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{OP}}$의 최댓값을 $a\sqrt3+b$라 할 때, $a^2+b^2$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 유리수이다.) [4점]