2005학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 확률과 통계 28번

그림과 같이 둘레의 길이가 $3$인 원을 삼등분하는 세 점 $\mathrm A$, $\mathrm B$, $\mathrm C$가 있고, 각 점 위를 움직이는 말이 있다. 이 말은 한 개의 주사위를 던져 홀수의 눈이 나오면 시계방향으로 $1$만큼 움직이고, 짝수의 눈이 나오면 그 수만큼 시계방향으로 움직인다.

예를 들면, 말이 $\mathrm A$에서 출발할 때 주사위를 던져 $3$이 나오면 $\mathrm B$로 움직이고, 다시 주사위를 던져 $2$가 나오면 $\mathrm B$에서 $\mathrm A$로 움직인다.

$\mathrm A$에서 출발한 말이 주사위를 $n$번 던진 후 $\mathrm A$, $\mathrm B$, $\mathrm C$에 있을 확률을 각각 $p_n$, $q_n$, $r_n$이라 하면

이 성립한다. 세 상수 $a$, $b$, $c$의 곱 $abc$의 값은? [3점]