2019학년도 대학수학능력시험 수학 영역 가형 26번

어느 지역 주민들의 하루 여가 활동 시간은 평균이 $m$분, 표준편차가 $\sigma$분인 정규분포를 따른다고 한다. 이 지역 주민 중 $16$명을 임의추출하여 구한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 $75$분일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $95\%$의 신뢰구간이 $a\leq m\leq b$이다. 이 지역 주민 중 $16$명을 다시 임의추출하여 구한 하루 여가 활동 시간의 표본평균이 $77$분일 때, 모평균 $m$에 대한 신뢰도 $99\%$의 신뢰구간이 $c\leq m\leq d$이다. $d-b=3.86$을 만족시키는 $\sigma$의 값을 구하시오.
(단, $Z$가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, $\mathrm{P}\left(\left|Z\right|\leq1.96\right)=0.95$, $\mathrm{P}\left(\left|Z\right|\leq2.58\right)=0.99$로 계산한다.) [4점]