2006학년도 6월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 18번

<증명>

그림과 같이 $\overline{AP}=x,\ \overline{PD}=y$

$\overline{DQ}=z,\ \overline{QC}=w$라 하면

$x(z+w)=w(x+y)=\boxed{\text{(가)}}$

이 식을 정리하면

$x(z+w)=w(x+y)$ … ㉠

$x(z+w)=\boxed{\text{(가)}}$ … ㉡

㉠의 식을 전개하면

$xz+xw=wx+wy$

$\therefore xz=wy$

$\dfrac yx=\dfrac zw=k$라 하면 $y=kx,\ z=kw$이고 이것을 ㉡에 대입하면

$x(kw+w)=kxkw$이다.

$x,y,z,w$는 $0$이 아니므로 $\boxed{\text{(나)}}$이다.

$k>0$이므로 $k=\boxed{\text{(다)}}$

$\therefore x:y=w:z=1:\boxed{\text{(다)}}$

즉, 점 $P,Q$는 $\overline{AD}$, $\overline{CD}$를 각각 황금분할하는 점이다.