n≥2인 자연수일 때, 부등식
i=1∑n(2i−11−2i1)<41(3−n1) … ㉠
을 수학적 귀납법으로 증명하는 과정이다.
(i) n=2일 때, 좌변은 (1−21)+(31−41)=127이고 우변은 41(3−21)=85이므로 성립한다.
(ii) n=k (k≥2)일 때, ㉠이 성립한다고 가정하면
i=1∑k(2i−11−2i1)<41(3−k1) … ㉡
㉡식의 양변에 (가)를 더하면
i=1∑k+1(2i−11−2i1)<41(3−k1)+(가) 한편
41(3−k1)+(가)에서 2(2k+1)>4k임을 이용하여
41(3−k1)+(가)<41(3−k1)+(나)=43−4(k+1)1 따라서 n=k+1일 때도 ㉠이 성립한다.
(i), (ii)에 의하여 부등식 ㉠은 n≥2인 모든 자연수에 대하여 성립한다.
위의 과정에서 (가), (나)에 알맞은 것은? [4점]
(가) (나)
