2015학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 B형 29번

한 변의 길이가 $4$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 변 $\mathrm{AB}$와 변 $\mathrm{AD}$에 모두 접하고 점 $\mathrm C$를 지나는 원을 $O$라 하자. 원 $O$ 위를 움직이는 점 $\mathrm X$에 대하여 두 벡터 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$, $\overrightarrow{\mathrm{CX}}$의 내적 $\overrightarrow{\mathrm{AB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CX}}$의 최댓값은 $a-b\sqrt2$이다. $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$와 $b$는 자연수이다.) [4점]