다음은 양수 a, b에 대하여 a1+b1=1일 때, 모든 자연수 n에 대하여 (a+b)n−an−bn≥22n−2n+1이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.
[증명]
(i) n=1일 때, (a+b)−a−b≥22−22이므로 성립한다.
(ii) n=k일 때 성립한다고 가정하면 (a+b)k−ak−bk≥22k−2k+1이다.
n=k+1일 때 성립함을 보이자.
a1+b1=1이면 ab=a+b이므로 ab의 최솟값은 (가)이다.
(a+b)k+1−ak+1−bk+1=(나){(a+b)k−ak−bk}+akb+abk≥(가)(22k−2k+1)+(다)=22(k+1)−2(k+1)+1 그러므로 n=k+1일 때도 성립한다.
따라서 (i), (ii)에 의해서 모든 자연수 n에 대하여 (a+b)n−an−bn≥22n−2n+1이다.
이 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]
(가) (나) (다)
