자연수 i 에 대하여 H_i=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1i 이라 할 때, 다음은 부등식 H_{2^n}\ge1+\frac n2\ (n=0,1,2,\cdots)\qquad\cdots\text{\char"3260} 이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다. (i) n=0 일 때, \text{(\char"C88C\char"BCC0)}=H_{2^0}=H_1=\boxed{\text{(\char"AC00)}},\quad\text{(\char"C6B0\char"BCC0)}=1+\frac02=1 그러므로 ㉠이 성립한…

파란띠 5기출문제

2006학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 12번

자연수 $i$ 에 대하여 $H_i=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1i$ 이라 할 때, 다음은 부등식

H_{2^n}\ge1+\frac n2\ (n=0,1,2,\cdots)\qquad\cdots\text{\char"3260}

이 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

<증명>

(i) $n=0$ 일 때,

\text{(\char"C88C\char"BCC0)}=H_{2^0}=H_1=\boxed{\text{(\char"AC00)}},\quad\text{(\char"C6B0\char"BCC0)}=1+\frac02=1

그러므로 ㉠이 성립한다.

(ii) $n=k$ 일 때, $H_{2^k}\ge1+\frac k2$ 가 성립한다고 가정하면

\begin{aligned}H_{2^{k+1}}&=1+\frac12+\frac13+\cdots+\frac1{2^k}+\boxed{\text{(\char"B098)}}\\&=H_{2^k}+\boxed{\text{(\char"B098)}}\\&\ge\left(1+\frac k2\right)+\boxed{\text{(\char"B098)}}\\&\ge\left(1+\frac k2\right)+\boxed{\text{(\char"B2E4)}}\cdot\frac1{2^{k+1}}\\&=1+\frac{k+1}2\end{aligned}

그러므로 $n=k+1$ 일 때도 ㉠이 성립한다.

따라서 $0$ 과 모든 자연수 $n$ 에 대하여 ㉠이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

(가)　(나)　(다)

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