2009학년도 4월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 가형 25번

원에 다음 과정을 실행한다.

지름의 길이가 $6$인 원이 있다.

이 원에 [과정]을 실행하여 그린 $2$개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 $C_1$이라 하자.

그림 $C_1$에서 새로 그려진 $2$개의 원에 각각 [과정]을 실행하여 그린 $4$개의 원의 내부를 제외하여 얻어진 그림을 $C_2$라 하자.

그림 $C_2$에서 새로 그려진 $4$개의 원에 각각 [과정]을 실행하여 그린 $8$개의 원의 내부를 색칠하여 얻어진 그림을 $C_3$이라 하자.

그림 $C_3$에서 새로 그려진 $8$개의 원에 각각 [과정]을 실행하여 그린 $16$개의 원의 내부를 제외하여 얻어진 그림을 $C_4$라 하자.

이와 같은 방법으로 $n$번째 얻어진 그림 $C_n$에서 색칠된 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac qp\pi$ ($p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) $p+q$의 값을 구하시오. (단, 모든 원의 중심은 처음 원의 한 지름 위에 있다.) [4점]