밤띠 5내신형

평균값 정리와 사잇값 정리

PATHWAY2026.08.16

실수 전체의 집합에서 도함수가 연속인 함수 $f(x)$ 와 합성함수 $g(x) = (f \circ f)(x)$ 가 다음 조건을 만족시킨다.

(가) $f(1)=4$ , $f(4)=25$ , $f(25)=1$
(나) 조건 (가)를 만족하는 모든 함수 $f(x)$ 에 대하여, 열린구간 $(1,\,4)$ 에서 $\lvert f'(c)\rvert \ge M$ 을 만족하는 실수 $c$ 가 반드시 존재하도록 하는 실수 $M$ 의 최댓값을 $M_{\scriptstyle 0}$ 라 하자.
(다) 조건 (가)를 만족하는 모든 함수 $f(x)$ 에 대하여, 열린구간 $(1,\,25)$ 에서 $g'(x) = n$ 을 만족하는 실수 $x$ 가 반드시 존재하도록 하는 모든 정수 $n$ 의 개수를 $N$ 이라 하자.

조건 (가)를 만족하는 함수 $f(x)$ 중 열린구간 $(1,\,4)$ 에서 $f'(x)\le M_{\scriptstyle 0}$ 을 만족하는 함수에 대하여, $f(3)$ 의 최댓값을 $L$ 이라 하자. $100M_{\scriptstyle 0}+10N+L$ 의 값을 구하시오.