2016학년도 6월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 27번

자연수 $n$에 대하여 직선 $x+y=n$이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm A$, $\mathrm B$라 하고, 선분 $\mathrm{AB}$를 $1:2$로 내분하는 점을 $\mathrm P$, $2:1$로 내분하는 점을 $\mathrm Q$라 하자. 최고차항의 계수가 $1$인 이차함수 $y=f(x)$의 그래프가 두 점 $\mathrm P$, $\mathrm Q$를 지날 때, 함수 $f(x)$의 일차항의 계수를 $a_n$, 상수항을 $b_n$이라 하면

$\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{9b_n}{na_n}=k$이다. $10k^2$의 값을 구하시오. [4점]