2019학년도 9월 모의평가 수학 영역 나형 19번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{A_1B_1}}=3$, $\overline{\mathrm{B_1C_1}}=1$인 직사각형 $\mathrm{OA_1B_1C_1}$이 있다. 중심이 $\mathrm{C}_1$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{B_1C_1}}$인 원과 선분 $\mathrm{OC_1}$의 교점을 $\mathrm{D}_1$, 중심이 $\mathrm{O}$이고 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{OD_1}}$인 원과 선분 $\mathrm{A_1B_1}$의 교점을 $\mathrm{E}_1$이라 하자. 직사각형 $\mathrm{OA_1B_1C_1}$에 호 $\mathrm{B_1D_1}$, 호 $\mathrm{D_1E_1}$, 선분 $\mathrm{B_1E_1}$로 둘러싸인 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.
그림 $R_1$에 선분 $\mathrm{OA_1}$ 위의 점 $\mathrm{A}_2$와 호 $\mathrm{D_1E_1}$ 위의 점 $\mathrm{B}_2$, 선분 $\mathrm{OD_1}$ 위의 점 $\mathrm{C}_2$와 점 $\mathrm{O}$를 꼭짓점으로 하고 $\overline{\mathrm{A_2B_2}}:\overline{\mathrm{B_2C_2}}=3:1$인 직사각형 $\mathrm{OA_2B_2C_2}$를 그리고, 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 직사각형 $\mathrm{OA_2B_2C_2}$에 모양의 도형을 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.
이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle \lim_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]