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그림과 같이 길이가 222인 선분 AB\mathrm{AB}AB를 지름으로 하는 반원 위에 두 점 P\mathrm{P}P, Q\mathrm{Q}Q를 ∠ABP=∠BAQ=θ (0<θ<π4)\angle\mathrm{ABP}=\angle\mathrm{BAQ}=\theta\;\left(0<\theta<\dfrac\pi4\right)∠ABP=∠BAQ=θ(0<θ<4π)가 되도록 잡는다. 두 선분 AQ\mathrm{AQ}AQ, BP\mathrm{BP}BP와 호 PQ\mathrm{PQ}PQ에 내접하는 원의 반지름의 길이를 r(θ)r\left(\theta\right)r(θ)라 할 때, limθ→π4−0r(θ)π4−θ=p2+q\displaystyle\lim_{\theta\to\tfrac\pi4-0}\dfrac{r\left(\theta\right)}{\dfrac\pi4-\theta}=p\sqrt2+qθ→4π−0lim4π−θr(θ)=p2+q이다. p2+q2p^2+q^2p2+q2의 값을 구하시오. (단, ppp와 qqq는 유리수이다.) [4점]
