2009학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 30번

그림과 같이 길이가 $1$인 성냥개비를 이용하여 가로의 길이가 $n$, 세로의 길이가 $1$, 높이가 $n$인 직육면체 모양의 $A_n$을 계속 만들자.

$A_1$

$A_2$

$A_3$　$\cdots$

직육면체 모양의 $A_n$을 만드는데 필요한 성냥개비의 개수와 겉넓이를 각각 $a_n$, $b_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_nb_n}{n^4}$의 값을 구하시오. (단, 성냥개비의 두께는 무시한다.) [4점]