2005학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 18번

그림과 같이 길이가 $4$인 선분 $\mathrm{AB}$가 지름이고 점 $\mathrm O$가 중심인 반원이 있다. 호 $\overset{\frown}{\mathrm{AB}}$의 이등분점을 $\mathrm P_1$, 호 $\overset{\frown}{\mathrm{BP}_1}$의 이등분점을 $\mathrm P_2$, 호 $\overset{\frown}{\mathrm P_1\mathrm P_2}$의 이등분점을 $\mathrm P_3$이라 하자.

이와 같은 방법으로 계속하여 호 $\overset{\frown}{\mathrm P_n\mathrm P_{n+1}}\ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$의 이등분점을 $\mathrm P_{n+2}$라 하자. 부채꼴 $\mathrm{AOP}_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? (단, 부채꼴에서 중심각의 이등분선이 호와 만나는 점을 호의 이등분점이라 한다.) [4점]