2009학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 13번

<증명>

먼저 $\frac{\log5}{\log2}$가 무리수임을 보이자.

$\frac{\log5}{\log2}=\frac qp$ ($p$, $q$는 서로소인 자연수)라 하면

$5^p=\boxed{\text{(가)}}$이다.

그런데, $5^p$은 홀수이고 $\boxed{\text{(가)}}$은 짝수이므로 모순이다.

따라서 $\frac{\log5}{\log2}$는 무리수이다.

$x\log2+y\log5=u\log2+v\log5$에서

$x-u=(v-y)\boxed{\text{(나)}}$이다.

$v-y\ne0$이면 우변은 $\boxed{\text{(다)}}$이고, 좌변은 $\boxed{\phantom{\text{유리수}}}$이므로 등식이 성립하지 않는다.

그러므로 $v-y=0$, $x-u=0$이다.

따라서 $x=u$, $y=v$이다.