두 정규분포와 확률함수의 최솟값

실수 $k$에 대하여 확률변수 $X$는 평균이 $2$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를, 확률변수 $Y$는 평균이 $2k+2$이고 표준편차가 $\sigma$인 정규분포를 따른다. 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 $f(t)$를

라 하자. 확률변수 $X,Y$와 함수 $f(t)$가 다음 조건을 만족시킨다.

$f(8)$의 값을 다음 표준정규분포표로 구한 값이 $a$이다. $1000\times a$의 값을 구하시오.