2018학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 20번

그림과 같이 길이가 $8$인 선분 $\mathrm{AB}_1$을 지름으로 하는 반원을 그리고 호 $\mathrm B_1\mathrm A$ 위에 $\angle\mathrm B_1\mathrm A\mathrm C_1=30^\circ$가 되도록 점 $\mathrm C_1$을 잡는다. 선분 $\mathrm{AC}_1$을 지름으로 하는 반원이 선분 $\mathrm{AB}_1$과 만나는 점 중 점 $\mathrm A$가 아닌 점을 $\mathrm B_2$라 할 때, 선분 $\mathrm B_2\mathrm B_1$, 호 $\mathrm B_1\mathrm C_1$과 호 $\mathrm C_1\mathrm B_2$로 둘러싸인 도형의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 선분 $\mathrm{AB}_2$를 지름으로 하는 반원을 그리고 호 $\mathrm B_2\mathrm A$ 위에 $\angle\mathrm B_2\mathrm A\mathrm C_2=30^\circ$가 되도록 점 $\mathrm C_2$를 잡는다. 선분 $\mathrm{AC}_2$를 지름으로 하는 반원이 선분 $\mathrm{AB}_2$와 만나는 점 중 점 $\mathrm A$가 아닌 점을 $\mathrm B_3$이라 할 때, 선분 $\mathrm B_3\mathrm B_2$, 호 $\mathrm B_2\mathrm C_2$와 호 $\mathrm C_2\mathrm B_3$으로 둘러싸인 도형의 내부를 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림을 $R_n$이라 할 때, 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 하자.

$\lim\limits_{n\to\infty}S_n=\frac qp(2\pi+3\sqrt3)$일 때, $p+q$의 값은? (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.) [4점]