2003학년도 대학수학능력시험 9월 모의평가 수학 영역 인문계 17번

〈증명〉

자연수 $n$에 대하여 $n+1$이 $3$의 배수이면, $n$은 $3k+2$꼴이다. (단, $k$는 음이 아닌 정수)

$3k+1$꼴의 수들의 곱은 $\boxed{\text{(가)}}$꼴이므로, $n$의 소인수 중에는 $3k+2$꼴이 반드시 있다.

그런데 $3k+2$꼴의 수를 짝수 번 곱하면 $3k+1$꼴의 수가 되므로, $n$의 소인수 중 $3k+2$꼴이면서 그 지수가 $\boxed{\text{(나)}}$인 것이 있다. 그 소인수를 $p$라 하고 $p$의 지수를 $m$이라 하면, $p$와 서로소인 자연수 $N$에 대하여 $n=N\cdot p^m$과 같이 나타내어진다.

이때, $p^m$의 양의 약수의 합 $1+p+p^2+\cdots+p^{m-1}+p^m$은 $\boxed{\text{(다)}}$꼴이고, $n$의 양의 약수의 합은 $N$의 양의 약수의 합과 $p^m$의 양의 약수의 합의 곱이다. 따라서 $n$의 양의 약수의 합은 $3$의 배수이다.