2014학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 20번

한 변의 길이가 2인 정육각형 $A_1$이 있다. 그림과 같이 $A_1$의 내부에 반지름의 길이가 같은 원 6개를 서로 외접하면서 $A_1$의 각 변의 중점에 접하도록 그리고 $A_1$의 내부와 6개의 원의 외부로 이루어진 영역 중 $A_1$의 각 변과 원으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 그려진 6개의 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 $A_2$라 하자. 그림 $R_1$에 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 $A_2$의 내부에 반지름의 길이가 같은 원 6개를 서로 외접하면서 $A_2$의 각 변의 중점에 접하도록 그리고 $A_2$의 내부와 $A_2$의 내부에 그린 6개의 원의 외부로 이루어진 영역 중 $A_2$의 각 변과 원으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

그림 $R_2$에 새로 그려진 6개의 원의 중심을 꼭짓점으로 하는 정육각형을 $A_3$이라 하자. 그림 $R_2$에 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 $A_3$의 내부에 반지름의 길이가 같은 원 6개를 서로 외접하면서 $A_3$의 각 변의 중점에 접하도록 그리고 $A_3$의 내부와 $A_3$의 내부에 그린 6개의 원의 외부로 이루어진 영역 중 $A_3$의 각 변과 원으로 둘러싸인 부분에 색칠하여 얻은 그림을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]