2004학년도 9월 고1 전국연합학력평가 수학 영역 12번

(증명) $n^3+9n^2+23n+15$를 인수분해하면

$n^3+9n^2+23n+15=(n+1)(n+3)(n+5)$

ⅰ) $n=3k\;(k=1,2,3,\ldots)$일 때,

$\boxed{\text{(가)}}$는(은) $3$의 배수이다.

ⅱ) $n=3k+1\;(k=0,1,2,\ldots)$일 때,

$\boxed{\text{(나)}}$는(은) $3$의 배수이다.

ⅲ) $n=3k+2\;(k=0,1,2,\ldots)$일 때,

$\boxed{\text{(다)}}$는(은) $3$의 배수이다.

따라서 모든 자연수 $n$에 대하여

$n^3+9n^2+23n+15$는 $3$의 배수이다.