2014학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 B형 21번

그림과 같이 중심이 O이고 반지름의 길이가 $1$인 원 $C_1$이 있다.

원 $C_1$ 위의 한 점 A를 잡고, 원 $C_1$과 반지름의 길이가 같고 두 점 O, A를 지나는 두 원이 원 $C_1$과 만나는 점 중에서 점 A가 아닌 점을 각각 B, C라 할 때, 선분 CA, 선분 AB, 호 BO, 호 OC로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에 원 $C_1$, 호 BO, 호 OC와 모두 접하는 원 $C_2$를 그린 후 원 $C_2$에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]