2018학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 나형 20번

그림과 같이 $\overline{\mathrm{AB}}=1$, $\overline{\mathrm{BC}}=2$인 직사각형 $\mathrm{ABCD}$에서 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm M$이라 하자. 중심이 $\mathrm B$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{BM}}$이고 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{BMA}$를 그리고, 중심이 $\mathrm C$, 반지름의 길이가 $\overline{\mathrm{CD}}$이고 중심각의 크기가 $90^\circ$인 부채꼴 $\mathrm{CDM}$을 그린다. 두 부채꼴의 호 $\mathrm{MA}$, 호 $\mathrm{DM}$과 선분 $\mathrm{AD}$에 모두 접하는 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 새로 그려진 각 부채꼴의 내부에 두 변의 길이의 비가 $1:2$인 직사각형을 긴 변이 선분 $\mathrm{BC}$위에 놓이면서 각 부채꼴에 내접하도록 각각 그리고, 각 직사각형에 그림 $R_1$을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 원의 내부에 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림을 $R_n$이라 할 때, 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 하자.

이 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]