2000학년도 대학수학능력시험 수학 영역 자연계 17번

<증 명>

직선 $\mathrm{BC}$를 $x$축, 변 $\mathrm{BC}$의 수직 이등분선을 $y$축으로 잡고, $\mathrm A(a,b)$, $\mathrm B(-c,0)$, $\mathrm C(c,0)$이라고 하자. (단, $b\ne0$, $c>0$)

(i) $a\ne c$이고 $a\ne-c$일 때

직선 $\mathrm{AC}$의 기울기는 $\dfrac b{a-c}$이므로, 변 $\mathrm{AC}$의 중점 $\mathrm E$를 지나고 변 $\mathrm{AC}$에 수직인 직선의 방정식은

같은 방법으로, 변 $\mathrm{AB}$의 중점 $\mathrm D$를 지나고 변 $\mathrm{AB}$에 수직인 직선의 방정식은

두 직선 ①, ②의 $y$절편이 같으므로 세 변의 수직 이등분선은 $y$축 위의 점 $(0,\boxed{\text{(나)}})$에서 만난다.

따라서, $\triangle\mathrm{ABC}$의 세 변의 수직 이등분선은 한 점에서 만난다.

(ii) $a=c$ 또는 $a=-c$일 때,

$\triangle\mathrm{ABC}$는 $\boxed{\text{(다)}}$이므로, 세 변의 수직 이등분선은 $\mathrm D$ 또는 $\mathrm E$에서 만난다.

따라서 $\triangle\mathrm{ABC}$의 세 변의 수직 이등분선은 한 점에서 만난다.