2014학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 12번

그림과 같이 자연수 $n$에 대하여 직선 $x=n$이 두 곡선 $y=2^x$, $y=\left(\dfrac13\right)^x$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}_n$, $\mathrm{Q}_n$이라 하자. 사다리꼴 $\mathrm{P}_n\mathrm{Q}_n\mathrm{Q}_{n+1}\mathrm{P}_{n+1}$의 넓이를 $A_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{A_n}{2^{n-1}}$의 값은? [3점]