파란띠 5수능형

2027학년도 수학도장 수능 직전 모의고사 1회 20번

수학한수2026.11.04

실수 $a$ $(a>1)$ 에 대하여 두 곡선

y=a^{x+3}+1,\quad y=\log_a(x+2)

가 서로 다른 두 점 $\mathrm P$ , $\mathrm Q$ 에서 만난다. 점 $\mathrm P$ 의 $x$ 좌표는 점 $\mathrm Q$ 의 $x$ 좌표보다 작고, 두 곡선의 점근선이 만나는 점을 $\mathrm T$ 라 하자. 다음은 삼각형 $\mathrm{OTP}$ 와 삼각형 $\mathrm{OPQ}$ 의 넓이의 비가 $1:2$ 일 때, $\dfrac{\log_a3}{a}$ 의 값을 구하는 과정의 일부이다. (단, $\mathrm O$ 는 원점이다.)

함수 $y=\log_a(x+2)$ 의 역함수의 그래프를 $x$ 축의 방향으로 $-3$ , $y$ 축의 방향으로 $\boxed{\text{(가)}}$ 만큼 평행이동하면 곡선 $y=a^{x+3}+1$ 과 일치한다. 따라서 주어진 두 곡선은 직선 $y=x+3$ 에 대하여 대칭이다.

두 곡선이 모두 증가하므로 두 교점 $\mathrm P$ , $\mathrm Q$ 가 모두 직선 $y=x+3$ 위에 있음을 알 수 있다. 점 $\mathrm P$ 의 좌표를 $(\alpha,\beta)$ 라 하면 삼각형 $\mathrm{OTP}$ 와 삼각형 $\mathrm{OPQ}$ 의 넓이의 비가 $1:2$ 이므로