2009학년도 3월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 16번

다음은 $a$, $b$, $c$가 정수일 때, $f(x)=ax^2+bx+c$에 대하여 $f(0)$, $f(1)$이 홀수이면 방정식 $f(x)=0$은 정수인 근을 갖지 않음을 증명한 것이다.

<증명>

방정식 $f(x)=0$이 정수인 근 $\alpha$를 가진다고 가정하면

$f(\alpha)=0$이다.

(i) $\alpha=2n\;(n\text{은 정수})$일 때

$$f(\alpha)=2(2an^2+bn)+\boxed{\text{(가)}}$$

위 등식에서 우변은 $\boxed{\text{(나)}}$가 되어 모순이다.

(ii) $\alpha=2n+1\;(n\text{은 정수})$일 때

$$f(\alpha)=2(2an^2+2an+bn)+\boxed{\text{(다)}}$$

위 등식에서 우변은 $\boxed{\text{(나)}}$가 되어 모순이다.

따라서 방정식 $f(x)=0$은 정수인 근을 갖지 않는다.

위 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]