2014학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 A형 18번

한 변의 길이가 $1$인 정육각형 $\mathrm{ABCDEF}$에서 길이가 $2$인 대각선의 교점을 $\mathrm O$라 하자. 그림과 같이 꼭짓점 $\mathrm A,\mathrm B,\mathrm C,\mathrm D,\mathrm E,\mathrm F$를 중심으로 하여 점 $\mathrm O$를 시계 방향으로 $60^\circ$만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 $\mathrm A_1,\mathrm B_1,\mathrm C_1,\mathrm D_1,\mathrm E_1,\mathrm F_1$이라 하자.

정육각형 $\mathrm A_1\mathrm B_1\mathrm C_1\mathrm D_1\mathrm E_1\mathrm F_1$에서 꼭짓점 $\mathrm A_1,\mathrm B_1,\mathrm C_1,\mathrm D_1,\mathrm E_1,\mathrm F_1$을 중심으로 하여 점 $\mathrm O$를 시계 방향으로 $60^\circ$만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 $\mathrm A_2,\mathrm B_2,\mathrm C_2,\mathrm D_2,\mathrm E_2,\mathrm F_2$라 하자.

정육각형 $\mathrm A_2\mathrm B_2\mathrm C_2\mathrm D_2\mathrm E_2\mathrm F_2$에서 꼭짓점 $\mathrm A_2,\mathrm B_2,\mathrm C_2,\mathrm D_2,\mathrm E_2,\mathrm F_2$를 중심으로 하여 점 $\mathrm O$를 시계 방향으로 $60^\circ$만큼 회전시키면서 호를 그린 다음, 이들 호의 길이를 이등분하는 점을 각각 $\mathrm A_3,\mathrm B_3,\mathrm C_3,\mathrm D_3,\mathrm E_3,\mathrm F_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 정육각형 $\mathrm A_n\mathrm B_n\mathrm C_n\mathrm D_n\mathrm E_n\mathrm F_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\sum\limits_{n=1}^{\infty}S_n$의 값은? [4점]