노란띠 3기출문제

2015학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 B형 18번

수열 $\{a_n\}$ 이 다음 조건을 만족시킨다.

(Ⅰ) $a_1=2$ 이고 $a_n<a_{n+1}\;(n\ge1)$ 이다.

(Ⅱ) $b_n=\frac12\left(n+1-\frac1{n+1}\right)\;(n\ge1)$ 이라 할 때, 좌표평면에서 네 직선 $x=a_n$ , $x=a_{n+1}$ , $y=0$ , $y=b_nx$ 에 동시에 접하는 원 $T_n$ 이 존재한다.

다음은 수열 $\{a_n\}$ 의 일반항을 구하는 과정이다.

원점을 $\mathrm O$ 라 하고, 원 $T_n$ 의 반지름의 길이를 $r_n$ 이라 하자.

직선 $x=a_n$ 과 두 직선 $y=0$ , $y=b_nx$ 의 교점을 각각 $\mathrm A_n$ , $\mathrm B_n$ 이라 하고, 원 $T_n$ 과 세 직선 $x=a_n$ , $y=b_nx$ , $y=0$ 의 접점을 각각 $\mathrm C_n$ , $\mathrm D_n$ , $\mathrm E_n$ 이라 하면

\overline{\mathrm{A_nB_n}}=a_nb_n\text{이고 }\overline{\mathrm{OB_n}}=a_n\sqrt{\boxed{\text{(가)}}+b_n^2}\text{이다.}

\begin{aligned}\overline{\mathrm{OD_n}}&=\overline{\mathrm{OB_n}}+\overline{\mathrm{B_nD_n}}=\overline{\mathrm{OB_n}}+\overline{\mathrm{B_nC_n}}\\&=a_n\sqrt{\boxed{\text{(가)}}+b_n^2}+a_nb_n-r_n,\\\overline{\mathrm{OE_n}}&=a_n+r_n.\end{aligned}

$\overline{\mathrm{OD_n}}=\overline{\mathrm{OE_n}}$ 이므로

r_n=\frac{a_n\left(b_n-1+\sqrt{\boxed{\text{(가)}}+b_n^2}\right)}2.

\therefore\ a_{n+1}=a_n+2r_n=\bigl(\boxed{\text{(나)}}\bigr)\times a_n\quad(n\ge1).

이때 $a_1=2$ 이고

a_n=\boxed{\phantom{nn}}\times a_{n-1}=\boxed{\phantom{nn}}\times a_{n-2}=\cdots=\boxed{\phantom{nn}}\times a_1

이므로

a_n=\boxed{\text{(다)}}.

위의 과정에서 (가)에 알맞은 수를 $p$ 라 하고, (나), (다)에 알맞은 식을 각각 $f(n)$ , $g(n)$ 이라 할 때, $p+f(4)+g(4)$ 의 값은? [4점]

#사관학교 #4점 #2014년 시행 #2015학년도 #사관학교

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