2013학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 A형 21번

한 변의 길이가 $1$인 정사각형 $A$가 있다. 그림과 같이 새로 그리는 정사각형의 한 변이 $A$의 한 변과 평행하도록 다음 [단계]에 따라 정사각형을 그린다.

[단계 1] 정사각형 $A$의 각 꼭짓점을 한 꼭짓점으로 하고 한 변의 길이가 $\frac12$인 정사각형을 $A$와 한 점에서만 만나도록 각각 그려 그림 $A_1$을 얻는다.

[단계 2] [단계 1]에서 새로 그린 정사각형의 꼭짓점 중 다른 정사각형과 만나지 않은 각 꼭짓점을 한 꼭짓점으로 하고, 한 변의 길이가 $\left(\frac12\right)^2$인 정사각형을 $A_1$과 한 점에서만 만나도록 각각 그려 그림 $A_2$를 얻는다.

$\vdots$

[단계 $n$] [단계 $n-1$]에서 새로 그린 정사각형의 꼭짓점 중 다른 정사각형과 만나지 않은 각 꼭짓점을 한 꼭짓점으로 하고, 한 변의 길이가 $\left(\frac12\right)^n$인 정사각형을 $A_{n-1}$과 한 점에서만 만나도록 각각 그려 그림 $A_n$을 얻는다.

자연수 $n$에 대하여 그림 $A_n$의 정사각형의 개수를 $a_n$이라 하자.

예를 들어, $a_1=5$, $a_2=17$이다. $\frac{a_{15}+1}{a_{10}+1}$의 값은? [4점]