2013학년도 7월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 A형 30번

한 변의 길이가 $1$인 정사각형을 $R_1$이라 하자. 그림과 같이 $R_1$의 한 꼭짓점과 정사각형 $R_1$의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 $R_2$라 하자.

정사각형 $R_2$의 한 꼭짓점과 정사각형 $R_2$의 변 위의 두 점을 세 꼭짓점으로 하는 정삼각형 하나를 그리고 이 정삼각형에 내접하는 원을 그린 후, 이 원에 내접하는 하나의 정사각형을 $R_3$이라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 정사각형을 $R_n$이라 하자.

정사각형 $R_n$의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\sum\limits_{n=1}^\infty S_n=\frac{a+b\sqrt3}{11}$이다. 이때 $a+b$의 값을 구하시오. (단, $a$, $b$는 자연수이다.) [4점]