2017학년도 9월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 20번

그림과 같이 길이가 $4$인 선분 $\mathrm{AB}$를 지름으로 하는 반원이 있다. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점을 $\mathrm O$라 하고, 호 $\mathrm{AB}$ 위에 두 점 $\mathrm P$, $\mathrm Q$를 $\angle\mathrm{POA}=\angle\mathrm{BOQ}=30^\circ$가 되도록 잡는다.

부채꼴 $\mathrm{POQ}$의 내부에서 점 $\mathrm P$를 중심으로 하고 선분 $\mathrm{PO}$를 반지름으로 하는 원의 내부와 점 $\mathrm Q$를 중심으로 하고 선분 $\mathrm{QO}$를 반지름으로 하는 원의 내부의 공통부분을 제외한 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 $R_1$이라 하자.

그림 $R_1$에서 지름의 양 끝점이 선분 $\mathrm{AB}$ 위에 있고 선분 $\mathrm{PO}$와 선분 $\mathrm{QO}$에 각각 접하는 가장 큰 반원을 그린다. 새로 그려진 $2$개의 반원에 그림 $R_1$을 얻는 것과 같은 방법으로 모양의 도형을 각각 그리고 색칠하여 얻은 그림을 $R_2$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R_n$에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 $S_n$이라 할 때, $\lim\limits_{n\to\infty}S_n$의 값은? [4점]