2018학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 18번

좌표평면에서 자연수 $n$에 대하여 곡선 $y=\left(x-2n\right)^2$이 $x$축, $y$축과 만나는 점을 각각 $\mathrm{P}_n$, $\mathrm{Q}_n$이라 하자.
두 점 $\mathrm{P}_n$, $\mathrm{Q}_n$을 지나는 직선과 곡선 $y=\left(x-2n\right)^2$으로 둘러싸인 영역(경계선 포함)에 속하고 $x$좌표와 $y$좌표가 모두 자연수인 점의 개수를 $a_n$이라 하자. 다음은 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^3}$의 값을 구하는 과정이다.

두 점 $\mathrm{P}_n$, $\mathrm{Q}_n$을 지나는 직선의 방정식은

$$y=\boxed{\,\left(\text{가}\right)\,}\times x+4n^2$$

이다. 주어진 영역에 속하는 점 중에서 $x$좌표가 $k$($k$는 $2n-1$ 이하의 자연수)이고 $y$좌표가 자연수인 점의 개수는 $\boxed{\,\left(\text{나}\right)\,}+2nk$이므로

$$a_n=\sum_{k=1}^{2n-1}\left(\boxed{\,\left(\text{나}\right)\,}+2nk\right)$$

이다. 따라서 $\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{n^3}=\boxed{\,\left(\text{다}\right)\,}$이다.

위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 $f\left(n\right)$, $g\left(k\right)$라 하고, (다)에 알맞은 수를 $p$라 할 때, $p\times f\left(3\right)\times g\left(4\right)$의 값은? [4점]