2027학년도 수학도장 수능 직전 모의고사 1회 기하 29번

사면체 $\mathrm{ABCD}$에 대하여 삼각형 $\mathrm{BCD}$는 한 변의 길이가 $8\sqrt3$인 정삼각형이다. 선분 $\mathrm{BC}$의 중점을 $\mathrm M$이라 할 때, 점 $\mathrm A$에서 평면 $\mathrm{BCD}$에 내린 수선의 발은 선분 $\mathrm{DM}$의 중점이고, 삼각형 $\mathrm{ABC}$의 넓이가 삼각형 $\mathrm{ABD}$의 넓이보다 $12$만큼 크다. 두 평면 $\mathrm{ABC}$, $\mathrm{BCD}$가 이루는 예각의 크기를 $\theta$라 할 때, $\cos^2\theta=\dfrac qp$이다. $p+q$의 값을 구하시오. (단, $p$와 $q$는 서로소인 자연수이다.)