2010학년도 11월 고2 전국연합학력평가 수학 영역 가형 20번

아래와 같이 한 변의 길이가 $2$인 정사각형을 넓이가 같은 $4$개의 정사각형으로 만든 후, 이 중 한 개의 정사각형에 내접원을 그려서 얻은 그림을 $D_1$이라 하고, 이 내접원의 넓이를 $S_1$이라 하자.

$D_1$에서 내접원이 없는 나머지 정사각형을 각각 넓이가 같은 $4$개의 정사각형으로 만든 후, 새로 만들어진 정사각형 중에서 내접원이 있는 정사각형과 인접한 각각의 정사각형에 내접원을 그려서 얻은 그림을 $D_2$라 하고, $D_2$에 있는 모든 원의 넓이의 합을 $S_2$라 하자.

$D_2$에서 내접원이 없는 나머지 정사각형을 각각 넓이가 같은 $4$개의 정사각형으로 만든 후, 새로 만들어진 정사각형 중에서 내접원이 있는 정사각형과 인접한 각각의 정사각형에 내접원을 그려서 얻은 그림을 $D_3$라 하고, $D_3$에 있는 모든 원의 넓이의 합을 $S_3$라 하자.

이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $D_n$에 있는 모든 원의 넓이의 합을 $S_n$이라 할 때, $\displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac1\pi S_n$의 값은?

[4점]