다음은 모든 자연수 n에 대하여 등식
k=0∑nn+4CknCk=5n+5
가 성립함을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.
(1) n=1일 때,
(좌변)=5C01C0+5C11C1=56,(우변)=51+5=56
이므로 주어진 등식은 성립한다.
(2) n=m일 때, 등식
k=0∑mm+4CkmCk=5m+5
가 성립한다고 가정하자. n=m+1일 때,
k=0∑m+1m+5Ckm+1Ck=(가)+k=0∑mm+5Ck+1m+1Ck+1
이다. 자연수 l에 대하여
l+1Ck+1=(나)⋅lCk(0≤k≤l)
이므로
k=0∑mm+5Ck+1m+1Ck+1=(다)⋅k=0∑mm+4CkmCk
이다. 따라서
k=0∑m+1m+5Ckm+1Ck=(가)+(다)⋅k=0∑mm+4CkmCk=5m+6
이다.
그러므로 모든 자연수 n에 대하여 주어진 등식이 성립한다.
위의 과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [3점]
