자연수 n에 대하여 Sn=1−31+51−71+⋯+(−1)n−1⋅2n−11이라 할 때, 다음은 n→∞limSn의 값을 구하는 과정이다.
1−x2+x4−x6+⋯+(−1)n−1⋅x2n−2=(가)−(−1)n⋅1+x2x2n 이므로
Sn=1−31+51−71+⋯+(−1)n−1⋅2n−11=∫01{1−x2+x4−x6+⋯+(−1)n−1⋅x2n−2}dx=∫01(가)dx−(−1)n∫011+x2x2ndx 이다. 한편, 0≤1+x2x2n≤x2n이므로
0≤∫011+x2x2ndx≤∫01x2ndx=(나) 이다. 따라서 n→∞lim∫011+x2x2ndx=0이므로 n→∞limSn=∫01(가)dx이다.
x=tanθ (−2π<θ<2π)로 놓으면
n→∞limSn=∫01(가)dx=∫04π1+tan2θsec2θdθ=(다) 이다.
위의 (가), (나)에 알맞은 식을 각각 f(x), g(n), (다)에 알맞은 수를 k라 할 때, k×f(2)×g(2)의 값은? [4점]
