2013학년도 사관학교 1차 선발시험 수학 영역 이과 24번

그림과 같이 반지름의 길이가 $3$인 두 원을 서로의 중심을 지나도록 그렸을 때, 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 $F_1$이라 하자.

$F_1$의 내부에 반지름의 길이가 같고 서로의 중심을 지나는 두 원을 $F_1$과 접하면서 반지름의 길이가 최대가 되도록 그렸을 때, 그려진 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 $F_2$라 하자.

$F_2$의 내부에 반지름의 길이가 같고 서로의 중심을 지나는 두 원을 $F_2$와 접하면서 반지름의 길이가 최대가 되도록 그렸을 때, 그려진 두 원의 내부에서 겹친 부분이 나타내는 도형을 $F_3$이라 하자.

이와 같은 방법으로 계속하여 도형 $F_n$을 그려 나갈 때, $F_n$의 둘레의 길이를 $l_n$이라 하자. $\sum\limits_{n=1}^{\infty}l_n$의 값은? [4점]