다음은 2 이상의 자연수 n 에 대하여 부등식 \frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}>\sqrt n 이 성립함을 증명하는 과정이다. (ⅰ) n=2 일 때 \dfrac1{\sqrt1}+\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{2+\sqrt2}2 에서 \frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}>\boxed{\text{(가)}} (ⅱ) n=k\ (k\geqq2) 일 때, 주어진 부등식이 성립함을 가정하면 \frac1{\sqrt1}+\frac1{…

초록띠 2기출문제

2005학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 12번

다음은 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 부등식

\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt n}>\sqrt n

이 성립함을 증명하는 과정이다.

<증명>

(ⅰ) $n=2$ 일 때

$\dfrac1{\sqrt1}+\dfrac1{\sqrt2}=\dfrac{2+\sqrt2}2$ 에서

\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}>\boxed{\text{(가)}}

(ⅱ) $n=k\ (k\geqq2)$ 일 때, 주어진 부등식이 성립함을 가정하면

\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt k}>\sqrt k

\sqrt{k+1}-\left(\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{k+1}}\right)

=\sqrt{k+1}-\left(\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt k}\right)-\frac1{\sqrt{k+1}}

<\sqrt{k+1}-\boxed{\text{(나)}}-\frac1{\sqrt{k+1}}=\frac{\boxed{\text{(다)}}}{\sqrt{k+1}}<0

\therefore\frac1{\sqrt1}+\frac1{\sqrt2}+\frac1{\sqrt3}+\cdots+\frac1{\sqrt k}+\frac1{\sqrt{k+1}}>\sqrt{k+1}

따라서 $n=k+1$ 일 때도 주어진 부등식은 성립한다.

(ⅰ), (ⅱ)에서 $2$ 이상의 자연수 $n$ 에 대하여 주어진 부등식이 성립한다.

위의 증명에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것은? [4점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +7 Rating

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