초록띠 4기출문제

2007학년도 3월 고3 전국연합학력평가 수학 영역 나형 12번

수열 $\{a_n\}$ 이

a_1=1,\ a_2=2,\ a_{n+2}=2a_{n+1}+a_n\quad(n=1,2,3,\cdots)

으로 정의될 때, 다음은 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{4n}$ 은 $12$ 의 배수임을 수학적귀납법으로 증명한 것이다.

(i) $n=1$ 일 때, $a_4=\boxed{\text{(가)}}$ 이므로 성립한다.

(ii) $n=k$ 일 때, $a_{4k}$ 가 $12$ 의 배수라고 가정하면

\begin{aligned}a_{4(k+1)}&=2a_{4k+3}+a_{4k+2}\\&=\boxed{\text{(나)}}a_{4k+2}+2a_{4k+1}\\&=\boxed{\text{(다)}}a_{4k+1}+\boxed{\text{(라)}}a_{4k}\end{aligned}

따라서 $a_{4(k+1)}$ 은 $12$ 의 배수이다.

그러므로 (i), (ii)에 의하여 모든 자연수 $n$ 에 대하여 $a_{4n}$ 은 $12$ 의 배수이다.

위의 과정에서 (가), (나), (다), (라)에 알맞은 수를 각각 $a,b,c,d$ 라 할 때, $a+b+c+d$ 의 값은? [3점]

정답률 –풀이 수 –정답 시 +9 Rating

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